В республике теоретические и прикладные исследования в различных областях математики начали проводиться с 1940 года. За 60 лет учёные математики добились существенных результатов.
Интегро-дифференциальные уравнения (и.-д.у.) и примыкающие к ним уравнения.
Интегральные уравнения. Установлены: устойчивость решений, существо вание предельных периодических и почти пери одических режимов и решений систем линейных неоднородных интегральных уравнений типа Вольтерра; получены условия устойчивости и не устойчивости решений линейных и нелинейных операторных уравнений; проведены исследова ния по разрешимости интегральных уравнений в пространстве обобщённых функций; исследова ны нек-рые интегральные неравенства (Я.Быков, И.Гурьянов, К.Шамгулов и др.).
Задача Коши и краевые задач и для и. - д. у. Установлена разрешимость задачи Коши для линейных и нелинейных и.-д. у.; получены условия существования решений на чальных задач для и.-д.у. с запаздывающим ар гументом и нейтрального типа; поставлены и решены нек-рые краевые задачи для обыкновен ных и.-д. у. и и.-д. у. с частными произ водными (Я.Быков, А.Егоров, Л.Кривошеин и др.)
Периодические, почти периоди ческие и ограниченные решения и.-д.у. Получены необходимые и достаточные условия существования периодических, почти периодических и ограниченных решений систем линейных и нек-рых классов нелинейных и.-д.у.; построены периодическое решения систем обык новенных дифференциальных уравнений в случае резонанса и дифференциальных уравнений с частными производными (Я.Быков, М.Има налиев, Г.Яковлева, А.Боташев, Д.Мамытов, К.Алымкулов и др.).
Асимптотическое поведение и устойчивость решений и.-д.у. Особые решения. Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. Получены доста точные условия ограниченности и стремления к конечным пределам решений нек-рых функций от решений и.-д.у.; установлены достаточные условия устойчивости решений различных и.-д.у.; выведены асимптотические оценки нек-рых клас сов и.-д.у.; установлено существование особых решений нек-рых классов и.-д.у.; исследованы асим птотические конечномерности пространства ре шений дифференциальных уравнений с запазды вающим аргументом (Я.Быков, М.Иманалиев, А.Егоров, Ю.Ведь и др.). Показано влияние ин тегральных возмущений на устойчивость и неус тойчивость решений систем дифференциальных уравнений (М.Иманалиев, Ю.Ведь). По результатам исследований периодических решений и устойчивости решений дифференциальных и и.- д.у. написана монография «Колебания и устойчивость решений сингулярно-возмущённых интегро-дифференциальных систем» (М.Иманали ев, 1974). При исследовании асимптотических свойств решений разных классов дифферен циальных и интегро-дифференциальных уравне ний получены оригинальные результаты (М.Иманалиев, К.Какишов, А.Сейтказиева, Б.Назар кулова, К.Эшенкулов и др.).
И.-д.у. с малым параметром при старшей производной. Предложен новый метод асимптотического разложения не линейных и.-д.у. с малыми параметрами при старших производных; получены асимптотичес кие разложения с любой наперёд заданной сте пенью точности: 1. периодического, почти периодического и ограниченных решений; 2. ре шений краевых задач с интегральными условия ми; 3. решение задач Коши (М.Иманалиев). Получены по различным аспектам исследование и.-д. у. с малыми параметрами при старших производных важные результаты (К.Какишев, Р.Та забеков и др.). Установлено достаточное усло вие существования периодических решений диф ференциальных и интегро-дифференциальных уравнений с малым параметром, исследованы вопросы об осциляции решений дифференциаль ных, интегро-дифференциальных и операторно-разностных уравнений (Я.Быков). При помощи метода погранслойных поправок впервые была установлена асимптотическая близость решений нелинейной трехмерной системы уравнений На вье-Стокса, описывающей движение жидкости с учётом вязкости с решениями уравнений Эй лера, описывающей движение жидкости без учёта вязкости (С.Алексеенко).
Обнаружено, что ма лые интегральные возмущения могут оказать су щественное влияние на устойчивость дифферен циальных систем; разработан метод установления достаточных условий, при выполнении к-рых неустойчивые дифференциальные системы при их интегральных возмущениях становятся устой чивыми, устойчивые — неустойчивыми. Уста новлены достаточные условия корректности и ог раниченности решения нелинейного дифферен циального уравнения в частных производных пер вого порядка, с интегральным коэффициентом в правой полуплоскости при начальном условии на оси; выявлено, что наличие интегрального коэффициента вносит существенное изменение в теорию дифференциальных уравнений с част ными производными первого порядка. Иссле дованы вопросы корректности начальной и пре дельной задач для линейного однородного диф ференциального уравнения первого порядка с от клоняющимся аргументом смешанного (опере жающе-запаздывающего и запаздывающе-опере жающего) типа на полуоси (М.Иманалиев, Ю.Ведь). Обнаружено новое явление в разреши мости задачи Коши для линейных однородных интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра. В частности, получены достаточные условия асимптотической устойчивости решений линейного однородного интегро-дифференциального уравнения типа Вольтерра второго порядка без первых производных искомой функции. Изучены асимптотические свойства на полуоси ре шения линейных интегральных уравнений типа Вольтерра второго рода в новой постановке: без предложения, что этими свойствами обладают их свободные члены (С.Искандыров). Выявле ны асимптотические и аналитические структуры решений в окрестности особой точки (А.Байза ков).
Создан метод доказательных вычислений на ЭВМ, при помощи к-рого получен ряд новых результатов в различных разделах математики, улучшающих уже известные или дающие ответы на поставленные ранее вопросы (М.Иманалиев, П.Панков). На основе этого метода разработан новый вузовский курс «Компьютерная матема тика». Разработана новая методика исследова ния решений вырожденных сингулярно-возму щенных динамических систем, как точечных мно жеств, обнаружен ряд новых эффектов, в том числе «вращающегося пограничного слоя», «уда ляющегося пограничного слоя», «асимптотичес кого расщепления решений». Создан метод до полнительного аргумента, при помощи к-рого впервые доказано существование решений ряда задач в теории дифференциальных уравнений с частными производными, поставлена общая про блема интегрального представления решения нелинейных дифференциальнных задач. Построены теория обобщенных решений интегральных уравнений 1-ого рода и их аппроксимации при помощи методов теории сингулярных возмуще ний. Разработан и применен к аппроксимации экспериментальных данных метод доказательно го глобального поиска (М.Иманалиев, Ю.Ведь, С.Алексеенко, П.Панков). Обоснован и развит метод Лайтхилла для сингулярно-возмущенных дифференциальных уравнений с особыми точка ми и с его помощью впервые получены равно мерно пригодные решения вплоть до иррегуляр ной особой точки (К.Алымкулов).
Приближенные и символические методы. Приближенным методом решения различных задач для и.-д.у. посвящены работы Л.Кривошеина и его учеников. Нек-рые символические методы решения разработаны и применены к интегро-дифференциальным и др. типам уравнений (Я.Быков, А.Боташев, В.Фёдоров, А.Хаиров).
Разностные уравнения. Построена теория Флоке и изучено существова ние периодических, почти периодических и ограниченных решений для нек-рых классов урав нений в конечных разностях; разработан диск ретный аналог оперативного исчисления Ми кусинского и дано его приложение к уравне ниям в конечных разностях; исследовано ана литические поведение и устойчивость решений уравнений в конечных разностях (Я.Быков, А.Боташев, С.Каримов и др.).
Функциональный анализ. Введено понятие порядка билинейных функци оналов и линейных операторов в счётно-нормированных пространствах и дано его применение (В.Фёдоров).Установлены условия устойчивости решений нелинейных операторных уравнений (А.Пратов). Разработаны конечные методы ис следования проблемы ветвления малых решений нелинейных уравнений в многомерном случае, даны приложения к задаче Пуанкаре о периоди ческих решениях квазилинейных дифференциаль ных уравнений, результаты обобщены в виде мо нографии «Конечные методы в теории многомерного ветвления» (А.Боташев).
В области математической физики были получены ряд важных результатов по гидродинамике, газодинамике, специальной теории отно сительности, распространению упругих волн по земной поверхности, гидрометеорологии (Ф.Фринкль, Э.Дуйшеев, К.Чаадаева, Дж.Сала матов и др.). Разработан метод предельных соот ношений для старших произвольных волновых потенциалов (Ш.Шамгунов). На его основе разрабатывается методика повышения сейсмостойкости комплексов инженерных сооружений с учётом резонансов. Создана единая теория фор мирования и распада структур в конечных от крытых ядернофизических системах (Ш.Кенже баев). Введено понятие «кинематического топо логического пространства» (П.Панков, А.Бору баев, Б.Баячорова). На его основе впервые в мире осуществлено единственное компьютерное изображение римановых поверхностей и других про странств, считавшихся ранее абстрактными. Сформулирована общая проблема естественного представления математических объектов в учеб ных и научных целях. Разработаны различные аспекты топологии, создана топологическая шко ла (А.Борубаев).
Развит метод обратной задачи рассеяния для системы уравнений Максвелла-Блоха с прило жениями к нелинейной оптике. Найдены но вые точные решения системы, исследованы её асимптотические свойства (И.Габитов, И.Ши мохин). Развиты известные и разработаны но вые асимптотические методы решения краевых задач о распространении волн в ограниченных средах. В частности, предсказан новый тип поверхностных электромагнитных волн в жидких кристаллах. Проанализировано возникновение электрического поля у поверхности безатмосфер ного небесного тела под действием солнечной радиации (В.Попов). На основе исследования распространения волн у неоднородной поверх ности и в периодических структурах, в частно сти, предсказано резонансное взаимодействие пространственно-периодических инженерных со оружений с сейсмической волной. Разработан асимптотический метод решения задачи Римана для анализа рассеяния волн на периодических структурах. (М.Иманалиев, В.Попов). Создан комплекс взаимосвязанных экономико-матема тических моделей для оптимизации свеклосахар ного производства (Ю.Чернов, И.Степаненко, Э.Ланге, А.Жусупбаев), к-рый нашел широкое применение в Кыргызстане и за его пределами. Обобщены известные методы решения задач выпуклого и вогнутого программирования для ре шения задач дробного программирования (Ю.Чернов, Э.Ланге, А.Жусупбаев). Получены существенные результаты в исследовании клас са задач размещения. Разработан метод и алго ритм решения многопродуктовой задачи разме щения, с помощью к-рого решены многие, ра нее не поддающиеся решению задачи размеще ния (М.Иманалиев, Э.Ланге, А.Жусупбаев, М.Асанкулова).
Обобщен метод последовательных расчетов для решения задач размещения с дробно-вогнутым и дробно-выпуклым функционалом, имеющим разрыв в начале координат, а также разработан метод решения задачи размещения, когда целе вая функция произвольная непрерывная и удов летворяет условиям применимости методов ди намического программирования (Э.Ланге, А.Жусупбаев). Обобщен метод последовательных расчетов на случай, когда целевая функция задачи размещения выпуклая или вогнутая всюду, за исключением начала координат, где она терпит разрыв (А.Жусупбаев). Сформирован единый алгоритм словоизменения в кыргызском языке и на его основе создана компьютерная програм ма по изучению и контролю знания гос. языка (П.Панков). Созданы учебники по математике для кыргызских школ (М.Иманалиев, И.Бекбо ев, Ж.Саламатов, М.Д.Джураев, Ж.У.Байсалов, А. Абдиев, Б.Келдибаев и др.). Научные резуль таты в областях математики достигнуты благода ря обсуждению исследуемых проблем на специ альных семинарах, руководимых известными учё ными: Г.Сухомлинов (1940), Я.Быков (1949— 1965), М.Иманалиев (с 1966). С 1961 начал из даваться, основанный профессором Я.Быко вым, тематический сборник «Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям в Кир гизии». Начиная с 11-го выпуска (1977) этот сборник носит название «Исследования по ин тегро-дифференциальным уравнениям». К на стоящему времени выпущено всего 29 выпусков этого сборника, к-рый стал периодическим ма тематическим ежегодником, оказавшим огром ное влияние на развитие математики в Кыргыз стане и за рубежом.
Подготовка научно-педагогических кадров осу ществляется на физико-математическом (с 1955), ныне механико-математическом факультете Кыргызского гос. нац. университета.
Теоретические и прикладные исследования математики велись в вузах, отделах, Институте физики и математики АН Киргизской ССР, а ныне — в Институте математики НАН Кыргызской Республики (с 1984)
В Бишкеке проводились математические конференции по: «Асимптотическим методам в тео рии сингулярно-возмущенных интегро-дифферен циальных и дифференциальных уравнений и их приложениям» (1975); некорректно поставленным задачам (1979).
